Energiebilanz der Thermodynamik

Warum eine alternative Formulierung der Energiebilanz?

Zur Modellierung von thermischen Systemen werden neben der Energiebilanz noch zahlreiche weitere differentielle und algebraische Gleichungen benötigt. Für eine effiziente Lösung des entstehenden differential-algebraischen Gleichungssystems (DAE) ist eine korrekte Wahl der differentiellen Zustände unerlässlich. Mit der alternativen Formulierung der Energiebilanz wird sichergestellt, dass zur Lösung des DAE die spezifische Enthalpie \(h\) und der Druck \(p\) als differentielle Zustände genutzt nutzt.

Am Anfang steht das Kontrollvolumen

Bevor die Energiebilanz aufgestellt werden kann, muss zunächst ein Bilanzraum festgelegt werden. Dafür wird das Kontrollvolumen \(V\) definiert. Über die Grenzen des Kontrollvolumens werden Stoffströme und Leistungen übertragen. Innerhalb des Kontrollvolumens befindet sich ein ideal durchmischts Fluid. Anschaulich kann man sich unter einem Kontrollvolumen einen mit Wasser gefüllten Tank vorstellen, in dem das Wasser stehts eine homogene Temperatur aufweist.

Alle im Folgenden verwendeten Variablen \(x\) verstehen sich als Funktion der Zeit \(x = x(t)\). Der Übersichtlichkeit halber wird auf die Darstellung dieser Abhängigkeit verzichtet.

Definition der Massenbilanz

Zunächst wird die Masse über das Kontrollvolumen bilanziert:

$$\frac{dm}{dt} = \sum_i \dot{m}_i \tag{1}$$

Die Massenbilanz ist sehr intuitiv: die Änderung der Masse \(m\) im Kontrollvolumen über der Zeit \(t\) entspricht der Summe aller ein- und austretenden Massenströme \(\dot{m}_i\).

Herleitung einer alternativen Formulierung der Energiebilanz

Mit der Definition des Kontrollvolumens und der Massenbilanz kann nun die in der TIL Suite verwendete alternative Formulierung der Energiebilanz hergeleitet werden. Die allgemeingültige Form der Energiebilanz lautet:

$$\frac{dE}{dt} = \sum_i \dot{m}_i (h_i + e_{a,i}) + \sum_j \dot{Q}_j + \sum_k P_k \tag{2}$$

Die zeitliche Änderung der Gesamtenergie im Kontrollvolumen \(\frac{dE}{dt}\) ergibt sich aus den Energien der ein- und austretenden Stoffströme \(\dot{m}_i(h_i + e_{a,i})\), den Wärmeströmen \(\dot{Q}_j\) und den mechanischen Leistungen \(P_k\).

Die Gesamtenergie ist als die Summe aus der inneren Energie \(U\), der kinetischen Energie \(E_{kin}\) und der potentiellen Energie \(E_{pot}\) definiert, wobei die letzteren beiden Energien auch unter der äußeren Energie \(E_a\) zusammengefasst werden können:

$$E := U + E_{kin} + E_{pot} = U + E_a$$

Es wird ein ruhendes System betrachtet. Damit kann die zeitliche Änderung der äußeren Energien im Kontrollvolumen \(\frac{dE_a}{dt}\) vernachlässigt werden. Weiterhin werden die äußeren Energien der Stoffströme \(e_{a,i}\) vernachlässigt, da kinetische und potentielle Energien erst bei großen Strömungsgeschwindigkeiten und Höhenunterschieden relevant werden. Der Term \(P_k\) steht stellvertretend für verschiedene Formen von mechanischer Leistung. Im Rahmen von thermodynamischen Systemen ist typischerweise nur die Leistung bei Volumenänderung \(P_V = - p \frac{dV}{dt}\) von Interesse, wobei \(p\) dem Druck im Kontrollvolumen \(V\) entspricht. Damit kann Gleichung (2) wie folgt vereinfacht werden:

$$\frac{dU}{dt} = \sum_i \dot{m}_i h_i + \sum_j \dot{Q}_j - p \frac{dV}{dt} \tag{3}$$

Die Innere Energie kann mit der Beziehung \(U = H - pV\) in Abhängigkeit der Enthalpie \(H\) und der Strömungsenergie \(pV\) ausgedrückt werden. Unter Zuhilfenahme der Produktregel, lässt sich die linke Seite von Gleichung (3) wie folgt umformulieren:

$$\frac{dU}{dt} = \frac{dH}{dt} - \frac{dpV}{dt} = \frac{dH}{dt} - V\frac{dp}{dt} - p\frac{dV}{dt}$$

Setzt man diesen Zusammenhing in Gleichung (3) ein, folgt:

$$\frac{dH}{dt} = \sum_i \dot{m}_i h_i + \sum_j \dot{Q}_j + V \frac{dp}{dt} \tag{4}$$

Die Leistung zur Volumenänderung kürzt sich raus. Gleichung (4) ist weiterhin für variable Kontrollvolumina gültig. Im nächsten Schritt wird die Massenbilanz (1) in die linke Seite von Gleichung (4) eingesetzt

$$\frac{dH}{dt} = \frac{dmh}{dt} = m\frac{dh}{dt} + h\frac{dm}{dt} = m \frac{dh}{dt} + h \sum_i \dot{m}_i$$

wobei \(h\) der spezifischen Enthalpie im Kontrollvolumen entspricht. Im letzten Schritt wird dieser Zusammenhang in Gleichung (4) eingesetzt und die alternative Formulierung der Energiebilanz ergibt sich zu:

$$m \frac{dh}{dt} = \sum_i \dot{m}_i (h_i - h) + \sum_j \dot{Q}_j + V \frac{dp}{dt}.$$