PI und PID Regler sind die in der Praxis am häufigsten eingesetzten Regler. Auch wenn das eigentliche Regelgesetz sehr einfach ist, ist die Wahl geeigneter Regelparameter alles andere als trivial. Wir stellen eine praxistaugliche und vielfach bewährte Methode zum Einstellen der Parameter vor.
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[…] the Ziegler–Nichols methods result in poor control […]. We should revere the Ziegler–Nichols rules for the original ideas, but they are not useful for practical PID tuning and there are better methods to teach in e.g. basic control courses.Olof Garpinger, Tore Hägglund, Karl Johan Åström, Performance and robustness trade-offs in PID control
PI und PID Regler sind die in der Praxis am häufigsten eingesetzten Regler. Auch wenn das eigentliche Regelgesetz sehr einfach ist, ist die Auswahl geeigneter Einstellungsparameter alles andere als trivial. Es gibt eine Vielzahl von theoretisch und empirisch hergeleiteten Methoden, um optimale oder gute Parameter für eine konkrete Anwendung (Regelstrecke) zu ermitteln. Allerdings sind die mathematisch-theoretischen Methoden häufig zu aufwendig und daher nicht praxistauglich. Und empirisch hergeleitete Methoden wie die häufig gelehrte Ziegler-Nichols-Methode können in der Praxis zu sehr schlechten Ergebnissen führen.
Im Folgenden stellen wir eine Methode Schritt für Schritt vor, die sich in zahlreichen Anwendungen an realen Anlagen oder in der Systemsimulation bewährt hat. Die Ergebnisse sind im theoretischen Sinn sicherlich nicht optimal aber führen eigentlich immer zu einem guten Verhalten des geschlossenen Regelkreises.
Die einzelnen Schritte sind:
Im Folgenden gehen wir auf die einzelnen Schritte detailliert ein. Dabei setzen wir ein Grundverständnis der Regelungstechnik und der Begriffe Regelstrecke, Stellgröße, Regelgröße, Sollwert und Regelkreis voraus. Ansonsten ist es besser, mit den Grundlagen des Regelkreises zu starten.
Die Grundidee von Regelung ist, über gezielte Rückkopplung das Verhalten eines dynamischen Systems zu verändern. Bei Rückkopplungen in dynamischen Systemen ist das Vorzeichen elementar wichtig. Positive Rückkopplung führt zu instabilen – also exponentiell wachsenden – Verhalten. Ein aktuelles Beispiel ist die Ausbreitung einer Pandemie: Mehr Infizierte führen zu mehr Infektionen also noch mehr Infizierten. So eine positive Verstärkung ist in der Regelungstechnik unerwünscht, Regelkreise müssen immer so geschlossen werden, dass die Rückkopplung negativ ist.
Praktisch bedeutet das: Wählen Sie das Vorzeichen des Reglers entgegengesetzt zur Wirkrichtung der Regelstrecke. Die Standardeinstellung eines Reglers geht üblicherweise von einer positiven Wirkrichtung der Regelstrecke aus und bindet daher den Istwert der Regelgröße negativ ein. Denn:
Plus (Regelstrecke) * Minus (Regler) = Minus (Rückkopplung im Regelkreis)
Das funktioniert zum Beispiel wunderbar bei einem Temperaturregler, an dem ein elektrischen Heizer für ein Wasserbad angeschlossen ist. Eine höhere Heizleistung (Stellgröße) bewirkt eine höhere Temperatur des Wasserbads (Regelgröße). Durch die negative Berücksichtigung des Istwerts im Regler ist die Rückkopplung des Regelkreises negativ und erfüllt damit eine Voraussetzung für Stabilität.
Würde der gleiche Regler eine Kältemaschine steuern, die das Wasserbad kühlt, wäre die Wirkrichtung der Regelstrecke Kälteleistung → Temperatur negativ. Würde man den Regler auf der Werkseinstellung lassen, ist der Regelkreis immer instabil. Für solche Fälle müssen Sie das Vorzeichen des Reglers aktiv ändern.
Die Wirkrichtung einer Regelstrecke kann man in der Regel durch ein paar physikalische Überlegungen einfach herausfinden. Ich persönlich bevorzuge aber die Trial-and-Error-Methode: Regler mit I-Anteil anschalten und beobachten, ob die Stellgröße in die richtige Richtung läuft, wenn nicht, Vorzeichen des Reglers ändern.
Für das PID Regelgesetz gibt es verschiedene mathematische Darstellungen. Die sind alle äquivalent aber führen zu unterschiedlichen Definitionen der Einstellparameter. Es ist wichtig, dass Sie verstehen, wie die Parameter in Ihrem konkreten Regler definiert sind, um sie einstellen zu können.
Die Grundform eines PID Reglers kann mit dieser Differentialgleichung beschrieben werden:
$$u = K_{\rm P} \ e + K_{\rm I} \int e \ {\rm d} t+K_{\rm D} \frac{{\rm d}e}{{\rm d}t}$$
Die Stellgröße u berechnet sich aus den Summen der P, I, und D Anteile. Wobei e den Regelfehler, also die Differenz zwischen Soll- und Istwert der Regelgröße beschreibt. Die einzelnen Anteile werden mit voneinander unabhängigen Parametern K beschrieben.
Eine übliche alternative Beschreibungsform ist:
$$u = K_{\rm P} \left(e + \frac{1}{T_{\rm N}} \int e\ {\rm d} t + T_{\rm V} \frac{{\rm d}e}{{\rm d}t}\right)$$
Der Proportionalanteil wird unverändert über die Verstärkung \(K_{\rm P}\) beschrieben, aber der Integralanteil wird über die Nachstellzeit \(T_{\rm N}\) und der Differentialanteil über die Vorhaltzeit \(T_{\rm V}\) definiert. Beide neu eingeführten Paramater haben die Dimension Zeit und werden in Industriereglern entweder in Sekunden oder Minuten eingegeben. In vielen Industriereglern wird die proportionale Verstärkung in einer leicht abgewandelten Form eingeben, und zwar dimensionslos als Proportionalbereich (oder Proportionalband) \(X_{\rm P}\). Dieser Wert wird in Prozent angegeben und auf den maximalen Bereich von Ausgangs- und Eingangssignal des Reglers bezogen:
$$X_{\rm P} := \frac{100}{K_{\rm P}} \frac{\Delta u}{\Delta e}$$
Die genauen Definitionen sind für die hier beschriebene Methode nicht entscheidend. Wichtig zu verstehen ist lediglich, dass kleine Werte für \(X_{\rm P}\) und \(T_{\rm N}\) generell zu größeren Stellgrößen und damit einem aggressiveren Regelverhalten führen, während es bei \(T_{\rm V}\) und \(K_{\rm P}\) genau umgekehrt ist.
Zunächst wird der Regler als reiner P-Regler betrieben, das heißt I-Anteil und D-Anteil werden komplett ausgestellt. Es werden wiederholt Sprünge auf den Sollwert gegeben und die Sprungantwort des geschlossenen Regelkreises beobachtet.
Wir fangen mit einer geringen Verstärkung also einem eher passiven Regler an. Einen guten Startpunkt für \(K_{\rm P}\) finden Sie durch die Überlegung, in welcher Größenordnung Änderungen der Stellgröße eine Änderung der Regelgröße bewirken. Von diesem Werte nehmen Sie dann einen Bruchteil – zum Beispiel ein Hundertstel. Falls in Ihrem Regler der P-Anteil über den Proportionalbereich \(X_{\rm P}\) vorgeben wird, wählen Sie einen hohen Wert – zum Beispiel 100.
Dabei ist zu beachten, dass mit einem reinen P-Regler immer eine bleibende Regelabweichung existiert. Das heißt, wir werden den Sollwert nie exakt treffen. Die erste Sprungantwort sollte ungefähr wie unten in der ersten Abbildung aussehen. Wiederholen Sie das Experiment Sprungantwort bei stufenweiser erhöhter Verstärkung, also einem immer aggressiveren Regler. Die Antwort des Regelkreises wird dabei immer schneller und die bleibende Regelabweichung nimmt ab. Irgendwann kommt man an den Punkt, an dem der Regelkreis deutlich schwingt und bei weiterer Erhöhung der Verstärkung sogar instabil wird. Dann hat man es übertrieben. Eine gute Einstellung ist, wenn ein erkennbares Überschwingen auftritt, das aber schnell abklingt.
Generell haben Sie hier einen gewissen Spielraum. Wählen Sie für eine robuste konservative Einstellung ein geringeres \(K_{\rm P}\) bzw. größeres \(X_{\rm P}\), und für eine aggressivere möglichst schnelle Regelung genau umgekehrt. Den so ausgewählten P-Anteil behalten wir für alle folgenden Schritte bei.
Nun wird der Regler als PI-Regler betrieben. Der Integralanteil sorgt nach einer ersten schnellen Reaktion des P-Anteils dafür, dass der bleibende Regelfehler über die Zeit ausgeglichen wird.
Wir fangen zunächst mit einem großen Wert für die Nachstellzeit \(T_{\rm N}\) an, das entspricht einem trägen Verhalten. Die intuitive Abschätzung der Zeitkonstante der Regelstrecke liefert einen guten Anhaltspunkt. Wie lange dauert es ungefähr, bis die Regelstrecke nach einem Sprung der Stellgröße wieder in einem stationären Zustand ist? Die Antwort auf diese Frage ist ein guter Startpunkt für \(T_{\rm N}\).
Analog zum Einstellen des P-Anteils führen wir wiederholt Sollwertsprünge durch und schauen uns die Antwort des geschlossenen Regelkreises an. Dabei vermindern wir stufenweise \(T_{\rm N}\) und erhöhen damit die Aggressivität des Reglers. Auch für den Integralanteil gilt: Eine zu aggressive Einstellung führt zu ungewollten Schwingungen oder sogar Instabilität.
Auch hier gibt es wieder einen Spielraum. Größere Nachstellzeiten führen zu robusteren und kleinere Nachstellzeiten zu schnelleren Regelungen. Die gewählte Einstellung für \(T_{\rm N}\) behalten wir für den nachfolgenden Schritt bei.
Meine persönliche Meinung ist: Für viele praktische Anwendung reicht ein gut eingestellter PI-Regler vollkommen aus. Das heißt, wenn Sie jetzt schon mit der Performance des Reglers zufrieden sind, hören Sie einfach auf. Falls Sie durch die Hinzunahme des D-Anteils noch etwas herausholen wollen, dann wiederholen wir das Vorgehen aus den beiden vorherigen Schritten.
Wir fangen wieder mit einer langsamen Einstellung an, also wählen eine kleine Vorhaltzeit \(T_{\rm V}\). Als Richtwert kann ein Zehntel der zuvor gewählten Nachstellzeit des I-Anteils dienen. Diese verringern wir stufenweise, bis wir mit der Performance des Regelkreises zufrieden sind.
Theoretisch bewirkt der D-Anteil auch, dass größere P-Anteil gewählt werden können, ohne dass das System anfängt zu schwingen. Das heißt, wir könnten mit aktiven PID-Regler nun noch mal den P-Anteil nachjustieren.
Mit der hier beschriebenen Methode gelingt es in der Praxis, einen PID-Regler gut einzustellen. Unabhängig von der Einstellmethode gilt für einen PID-Regler aber immer, dass er ein linearer Regler ist, der in einer nichtlinearen Welt immer nur für einen Arbeitspunkt gut eingestellt werden kann. Es kommt stark auf die Regelstrecke an – genauer auf deren Nichtlinearität – wie gut die gefundenen Regelparameter auch an anderen Arbeitspunkten funktionieren. Ich denke dieses Phänomen ist vielen aus der Praxis bekannt. Ein bisher gut funktionierender Regler fängt an einem anderen Arbeitspunkt (z.B. Teillast anstatt Volllast) auf einmal an zu schwingen.
Um solche Probleme zu vermeiden, kann man den PID-Regler von vornherein robuster einstellen. Generell gibt es immer ein Performance/Robustheits-Zielkonflikt. Das heißt, wenn ich in den Schritten oben, die Parameter eher etwas zur langsamen Seite hin wähle, erhalte ich einen robusteren Regler, der dann auch eher bei veränderten Betriebsbedingungen funktioniert.
Will man Nichtlinearitäten der Regelstrecke vollständig verstehen, und Regelungen entwerfen, die möglichst performant sind, kommt man an einer detaillierten Analyse der Dynamik der Regelstrecke nicht vorbei. Ein mächtiges Werkzeug hierfür ist die Systemsimulation mit der Modellierungssprache Modelica. Systeme können übersichtlich aus Einzelkomponenten und vorhandenen Bibliotheken aufgebaut werden. Durch virtuelle Experimente können die wichtigsten physikalischen Effekte und Wechselwirkungen gezielt untersucht und verstanden werden.
Für viele technische Gebiete gibt es industrieerprobte Modellbibliotheken, die den Aufwand bei der Modellierung stark verringern. Wir bieten mit der TIL Suite für Thermodynamik Simulation und der PSL für verfahrenstechnische Systeme professionelle Modelica-Bibliotheken und das dazugehörige Know-how an. Gerne helfen wir Ihnen bei der Regelungsentwicklung für Ihre konkrete Anwendung.
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